为什么 0.1 + 0.2 不等于 0.3 ?

十进制小数在高级程序设计语言中属于浮点类型数据，既然十进制小数存储到内存中有误差，所以计算机中的浮点型数值的计算是不精确的，这种问题 对于所有支持浮点数运算的编程语言都是存在的。

先看两个简单但诡异的代码：

0.1 + 0.2 > 0.3 // true
0.1 * 0.1 = 0.010000000000000002

0.1 加 0.2 为什么就不等于 0.3 昵？要回答这个问题，得先了解计算机内部是如何表示数的。

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内存中数的存储

我们知道，计算机中任何类型的数据，其本质是以二进制的形式存储的。

[1] –> 计算机内部如何表示整数

这里以十进制数 13 来展示 “按位计数法” 如何表示整数：

十进制值	进制	按位格式	描述
13	10	13	1x10^1 + 3x10^0 = 10 + 3
13	2	1101	1x2^3 + 1x2^2 + 0x2^1 + 1x2^0 = 8 + 4 + 0 + 1

[2] –> 计算机内部如何表示小数

再来看，十进制小数 0.625 怎么用 “按位计数法” 表示：

十进制值	进制	按位格式	描述
0.625	10	0.65	6x10^-1 + 2x10^-2 + 5x10^-3 = 0.6 + 0.02 + 0.005
0.65	2	0.101	1x2^-1 + 0 x2^-2 + 1x2^-3 = 1/2 + 0 + 1/8

[3] –> 如何用二进制表示 0.1

最终回归到本篇开头的样例，先来看如何用二进制表示 0.1 ？？？

我们知道，十进制整数转二进制方法：除 2 取余，逆序排列；十进制小数转二进制方法：乘 2 取整，顺序排列。

十进制 0.1 转换成二进制，乘 2 取整过程：

0.1 * 2 = 0.2 # 0
0.2 * 2 = 0.4 # 0
0.4 * 2 = 0.8 # 0
0.8 * 2 = 1.6 # 1
0.6 * 2 = 1.2 # 1
0.2 * 2 = 0.4 # 0

.....

从上面可以看出，0.1 的二进制格式是：0.000110011.... 。这是一个二进制无限循环小数，但计算机内存有限，我们不能用储存所有的小数位数。

也就是说 >>>> 将十进制小数转化为其它进制小数时，存在无限问题。 >>>> 那么在精度与内存间如何取舍呢？

答案是：在某个精度点直接舍弃。

当然，代价就是，0.1 在计算机内部根本就不是精确的 0.1，而是一个有舍入误差的 0.1。当代码被编译或解释后，0.1 已经被四舍五入成一个与之很接近的计算机内部数字，以至于 计算还没开始，一个很小的舍入错误就已经产生了，并且这种误差会在后续的计算过程中不断累计。

这也就是 0.1 + 0.2 不等于 0.3 的根本原因。

有误差的两个数，其计算的结果，很可能 与我们期望的不一样了。

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注意前面的这句话中的 “很可能” 这三个字？为啥是很可能昵？

0.1 + 0.1 为什么等于 0.2 ?

答案是：两个有舍入误差的值在求和时，相互抵消了，但这种“负负得正，相互抵消”不一定是可靠的，当这两个数字是用不同长度数位来表示的浮点数时，舍入误差可能不会相互抵消。

又如，对于 0.1 + 0.3 ，结果其实并不是 0.4，但 0.4 是最接近真实结果的数，比其它任何浮点数都更接近。许多语言也就直接显示结果为 0.4 了，而不展示一个浮点数的真实结果了。

另外要注意，二进制能精确地表示位数有限且分母是 2 的倍数的小数。比如 0.5（0.25、0.625…），0.5 在计算机内部就没有舍入误差。所以 0.5 + 0.5 === 1。

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胡乱舍入，能满足所有的计算需求吗

我们看两个现实的场景：

• 对于一个修建铁路的工程师而言，10 米宽，还是 10.0001 米宽并没有什么不同。铁路工程师就不需要这么高 0.x 这样的精度；
• 对于芯片设计师，0.0001 米就会是一个巨大不同，他也永远不用处理超过 0.1 米距离。

不同行业，要求的精度不是线性的，我们允许（对结果无关紧要的）误差存在。 10.0001 与 10.001 在铁路工程师看来都是合格的。

虽然允许误差存在，但在使用浮点数进行计算或逻辑处理时，不注意，就可能出问题。记住，永远不要直接比较两个浮点的大小。

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